Materi Kesebangunan Lengkap

Soal kesebangunan dan kongruensi 
Bangun-bangun datar yang sebangun artinya bangun-bangun datar tersebut mempunyai bentuk yang sama namun ukurannya berbeda dapat lebih besar atau lebih kecil.

Untuk membuktikan dua buah bangun datar sebangun dapat dilakukan jika memenuhi salah satu syarat di bawah ini :

a.    Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

b.    Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Contoh :

Diketahui dua buah segitiga ABC dan PQR. Panjang AB = 8, BC = 10, PQ = 4, dan PR = 3. Sedangkan ∠ A = ∠ P = 90⁰, ∠ B = 30⁰, ∠ R = 60⁰. Buktikan segitiga ABC sebagun dengan PQR ?

Dengan menggunakan rumus phytagoras maka panjang sisi yang belum kita ketahui dapat kita cari AC = 6 dan QR = 5.

Dengan menggunakan sifat segitiga yaitu jumlah sudut-sudut dalam segitiga = 180⁰ maka :

 ∠ C = 180⁰ – ( ∠ A + ∠ B ) = 180⁰ – 120⁰ = 60⁰ dan

∠ Q = 180⁰ – ( ∠ P + ∠ R ) = 180⁰ – 150⁰ = 30⁰.

Ada dua cara untuk membuktikan dua bangun segitiga di atas sebangun :

Cara 1 :

∠ A = ∠ P = 90⁰, ∠ B = ∠ Q = 30⁰, ∠ C = ∠ R = 60⁰ (sudut-sudut yang bersesuaian sama besar)

Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian dalam Segitiga yang Salah Satu Sisinya Sejajar

Jika perbandingan melibatkan sisi segitiga yang tengah (sejajar) maka perbandingannya sesuai dengan gambar yang kiri (panah warna merah) sehingga tersusun 2 perbandingan :

DE/AB = CD/CA

DE/AB = CE/CB

Jika perbandingan melibatkan sisi-sisi tepinya maka dapat menggunakan gambar yang kiri maupun yang kanan :

CD/DA = CE/EB

Catatan penting :

·         Jangan mengingat perbandingan hurufnya karena letak dan jenis huruf dapat berubah-ubah namun ingatlah pola garisnya.

·         Perbandingan di atas disusun berdasarkan garis panajng per garis pendek yang bersesuaian. Kalian juga dapat menyusun sebaliknya tetapi ingat jangan berubah-ubah polanya.

·         Perbandingan terakhir (garis biru) hanya berlaku untuk perbandingan sisi-sisi tepi. Karena perbandingan tersebut bukan perbandingan umum dalam kesebangunan namun perbandingan pengembangan berdasarkan perbandingan sisi kiri dan kanan yang sama maka perbandingan garis yang pendek dibanding selisih yang garis panjang dengan pendek (DA dan EB) sama.

Dalam soal perbandingan garis puncaknya tidak selalu di atas namun bisa di kiri, kanan atau bawah tergantung dari letak sisi sejajar.

Perhatikan contoh yang ujung sketsanya di sebelah kiri :

Tinggi Adam 175 cm dan panjang bayangannya 190 cm. Pada saat yang sama panjang bayangan pohon 4,5 m maka tinggi pohon (x) tersebut adalah ?

   

yang perlu diperhatikan satuan panjang orang/pohon dengan bayangannya harus sama jadi boleh panjang dan bayangan Adam tetap dalam centimeter namun dalam pengerjaan kali ini saya ubah dalam meter. berdasarkan rumus perbandingan di atas maka :

x/1,75 = 4,5/1,9

Terus dikali silang (angka yang bawah/bagi menjadi kali dengan persilangannya) sehingga

1,9.x  =  1,75.4,5

x  = 4,15 m

Langkah kali silang jika sudah lancar bisa juga tidak ditulis cukup dibayangkan lalu langsung menulis langkah di bawahnya. kemudian jika angka atas dan bawah bisa disederhanakan dengan saling coret dengan pembagi yang sama sebaiknya disederhanakan dahulu.

Bentuk perbandingan di atas tidak mutlak, kita juga bisa menyusun dalam bentuk lain misalnya :

Pohon/bayangan pohon = orang/bayangan orang

Atau bentuk lainnya yang dapat kalian coba sendiri. Jika hasil akhirnya sama maka perbandingan tersebut dapat digunakan.

Kita lanjutkan ke variasi soal yang lain, perhatikan gambar :

Panjang garis EF adalah ?

Untuk memudahkan pengerjaan kita buat garis bantu yang sejajar dengan AD yang melalui titik C seperti sketsa di bawah ini 

Sebelum mencari panjang EF kita cari dahulu panjang HF dengan perbandingan

Coba perhatikan karena HF garis yang lebih pendek dari GB berada di atas maka CF yang lebih pendek dari CB juga di atas. Dan panjang CB = 4 cm + 6 cm = 10 cm serta panjang GB juga 10 cm sehingga :

 HF/GB = CF/CB

HF/10 = 4/10

HF = 4 cm

EF = EH + HF = 9 + 4 = 13 cm

Soal selanjutnya cukup sulit diselesaikan bila belum tahu triknya

Titik E dan F masing-masing merupakan titik tengah diagonal trapesium sama kaki sehingga panjang AE = EC = BF = FD seperti sketsa di bawah ini :

Panjang garis EF adalah ?

Untuk memudahkan pengerjaan kita buat garis bantu yang merupakan perpanjangan garis EF yaitu EG

Mula-mula kita cari panjang EG dengan sketsa garis yang berwarna merah, karena CE = EA maka CA = 2CE maka

EG/AB = CE/CA

 EG/19 = 1/2

 EG = 9,5

Kemudian kita cari panjang FG dengan sketsa garis yang berwarna biru, ingat sketsa tersebut merupakan segitiga terbalik sehingga puncak segitiganya berada di titik B maka

 FG/DC = CE/CA

FG/9 = 1/2

FG = 4,5

EF = EG - FG = 9,5 - 4,5 = 4,5 cm

Terkadang panjang garis yang kita misalkan dengan huruf digabung dengan panjang garis lain yang sudah diketahui besarnya. Misalnya :

 MO/ML = MN/MK

a/(a + 12) = 6/15

Dikali silang sehingga

15 . a = 6 (a + 12)

Angka 6 dikalikan dengan yang ada di dalam kurung menjadi

15a = 6a + 72

15a – 6a = 72

9a = 72

a = 72/9 = 8 cm

Rumus Air Mancur dalam Segitiga Sebangun

Coba kalian perhantikan bagan rumus berikut ini :

Coba kalian perhatikan, garis-garis yang melengkung saling dikalikan maka hasilnya sama dengan garis lurus yang dobel yang dikuadratkan. arah panah garis yang lurus selalu menuju ke sisi miring segitiga siku-siku. Kemudian dilanjutkan dengan garis lengkung pendek lalu garis lengkung panjang. Ingat polanya jangan menghafal hurufnya. 

AD² = DB . DC

AC² = CD . CB

AB² = BD . BC

Coba perhatikan contoh soal berikut ini.... dan carilah nilai x, y dan z :

AD² = DC . DB

12² = 16 . x

144 = 16x

x = 144/16 = 9 cm

untuk soal yang ini saya kerjakan langsung :

y² = 16 . (16 + 9)

y² = 400

y = 20 cm

z² = 9 . (9 + 16)

z² = 225

 z = 15 cm

terkadang dalam mengerjakan soal kalian harus memahami konsep dasar tentang perbandingan dalam kesebangunan secara mendalam, coba perhatikan bangun segitiga di bawah ini

coba carilah panjang DE ? 

ingat garis DE tidak sejajar dengan garis AB namun segitiga ABC sebangun dengan DEC karena mempunyai sudut-sudut bersesuaian yang sama besar.

Ingat pada prinsipnya asal kedua bangun merupakan segitiga sebangun maka dapat dibuat perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. Untuk kemudahan dalam mengerjakan  soal pisahkanlah antara gambar segitiga besar dengan segitiga kecil.

segitiga besar dan kecil mempunyai titik sudut yang sama yaitu titik C maka besar sudutnya pun juga sama. segitiga yang besar siku-siku di titik A sedangkan segitiga kecil siku-siku di titik E, maka setelah dipisahkan terlihat seperti gambar di bawah ini :

sehingga ED = 6 cm

Sekarang contoh bangun yang berbentuk persegi panjang  :

Suatu Poster berukuran 20 cm x 36 cm diletakkan pada suatu bingkai karton sebangun, pada sisi sebelah atas tersisa 5 cm demikian juga bagian kanan dan kiri bingkai juga tersisa 5 cm seperti dalam gambar di bawah ini, berapakah sisa bingkai pada bagian bawah?

Dua bangun di atas kita pisahkan sehingga menjadi

dengan mudah kita dapatkan panjang y = 54 cm

Maka sisa karton bagian bawah = 54 – 36 – 5 = 13 cm

Ada soal yang mirip dengan soal di atas yang pengerjaanya mirip, perbedaannya hanya dalam penyelesaian akhir. 

Suatu Poster berukuran 20 cm x 36 cm diletakkan pada suatu bingkai karton dengan batas tepi karton di setiap sisinya 5 cm seperti dalam gambar di bawah ini, berapakah panjang bagian bawah poster yang harus dipotong agar sebagun ?

Dua bangun di atas kita pisahkan sehingga menjadi

Panjang poster walaupun sudah diketahui sebesar 36 cm namun tidak dicantumkan karena pada bagian tersebut yang akan kita potong

dengan cara perbandingan yang sesuai jika hitunganmu benar maka y = 30,67 cm

Sehingga panjang poster yang kita potong = 36 – 30,67 = 5,33 cm

Demikianlah variasi soal dalam kesebangunan yang cukup beragam. Semoga dapat menambah kefahaman kalian terhadap materi kesebangunan. Materi yang terkesan sederhana dan singkat ternyata variasi soalnya cukup banyak. Sehingga tidak semua bentuk soal dapat kita bahas dalam modul ini. Dengan memperbanyak latihan soal dengan buku lain kalian akan semakin menguasai materi kesebangunan.

1.    Kongruensi

Bangun-bangun datar yang kongruen adalah bangun-bangun yang memiliki baentuk dan ukuran yang sama.

Untuk membuktikan dua buah bangun segitiga kongruen dapat dilakukan jika memenuhi salah satu syarat di bawah ini :

a.    Tiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi,sisi,sisi).

b.    Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sudut,sisi,sudut atau sisi,sudut,sudut)

c.    Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar (sisi,sudut,sisi)

Buktikan segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR ?

∠ ABC = 180⁰ – (∠ BAC + ∠ ACB) = 180⁰ – (80⁰ + 65⁰) = 180⁰ – 145⁰ = 35⁰

Sehingga

∠ ACB = ∠ PRQ = 65⁰

∠ ABC = ∠ PQR = 35⁰

Jika dua buah pasang sudut dalam segitiga sama maka sepasang sudut lainnya pasti sama, namun syarat di atas baru membuktikan bahwa kedua bangun segitiga tersebut sebangun dan belum tentu kongruan. Untuk membuktikan kedua bangun segitiga kongruen masih butuh satu syarat lagi yaitu

Panjang AC = panjang PR

Jadi segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR dengan pembuktian sisi,sudut,sudut