Soal dan Pembahasan Integral Subtitusi

Bentuk pengintegralan dengan metode subtitusi merupakan versi pengintegralan/kebalikan dari aturan rantai pada differnsial/turunan.

Masih ingatkah turunan berantai!!  Perhatikan contoh di bawah ini :

y = ( x2 + 3x + 5 )9 maka turunanya !

Jawab :


y' = 9 ( x2 + 3x + 5 )8 ( 2x + 3)

keterangan : 
pangkatnya diturukan sehingga dikali 9 dan pangkatnya berubah dari pangkat 9 menjadi 8, ingat yang bagian dalam kurung tetap... kemudian dikalikan dengan turunan yang di dalam kurung... turunan  x2 + 3x + 5 adalah 2x + 3.

Hal ini berarti :




Lalu..Caranya...??

Misal : u = x2 + 3x + 5  maka :









du/dx dibaca turunan fungsi u yang diturunkan variabel x nya....

maka :







contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :

       1.   \int (5x-3)^4dx=.... 

       Jawab :

*  kita misalkan u=5x-3  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 5x-3}\\\frac{du}{dx}&=&5\\dx&=&{\color{Blue} \frac 15\;du} \end{align*}

*  Baru kita subtitusikan ke soal :

\begin{align*}\int({\color{Red} 5x-3})^4{\color{Blue} dx}&=&\int {\color{Red} u}^4.{\color{Blue} \frac 15\;du}\\&=&{\color{Blue} \frac 15}.\frac{1}{4+1}.{\color{Red} u}^{4+1}+C\\&=&\frac{1}{25}\;{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac{1}{25}\;({\color{Red} 5x-3})^5+C\end{align*} 

Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita  u={\color{Red} 5x-3}    ya…..

2.  \int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx=...

Jawab :

*  kita misalkan  u=3x^2-3x+5   dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :

\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 3x^2-3x+5}\\\frac {du}{dx}&=&6x-3\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\end{align*}

 *  Baru kita subtitusikan ke soal :

\begin{align*}\int (2x-1)(3x^2-3x+5)^8\;dx&=&\int (2x-1).{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} \frac{1}{6x-3}\;du}\\&=&\int \frac{2x-1}{{\color{Blue} 3(2x-1)}}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{3}\;{\color{Red} u}^8\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 13.\frac{1}{8+1}.{\color{Red} u}^{8+1}+C\\&=&\frac{1}{27}.{\color{Red} u}^9 +C\\&=&\frac{1}{27}({\color{Red} 3x^2-3x+5})^9+C\end{align*}


3.   \int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx=...

Jawab :

*  kita misalkan u=2x^3+1  dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} 2x^3+1}\\\frac{du}{dx}&=&6x^2\\dx&=&{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du} \end{align*}

*  Baru kita subtitusikan ke soal :

\begin{align*}\int x^2\sqrt{2x^3+1}\;dx&=&\int x^2.\sqrt{{\color{Red} u}}\;.{\color{Blue} \frac{1}{6x^2}\;du}\\&=&\int \frac{x^2}{{\color{Blue} 6x^2}}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\int \frac{1}{6}.{\color{Red} u}^{\frac 12}\;{\color{Blue} du}\\&=&\frac 16.\frac{1}{\frac 12+1}\;{\color{Red} u}^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac 16.\frac 23\;{\color{Red} u}^{\frac 32}+C\\&=&\frac 19\;{\color{Red} u}\sqrt {\color{Red} u}+C\\&=&\frac 19({\color{Red} 2x^3+1})\sqrt{{\color{Red} 2x^3+1}}+C\end{align*}

4.   \int sin\;x.cos^2x\;dx  = …

Jawab :

* kita misalkan u=cos\;x  maka :

 \begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} cos\;x}\\\frac{du}{dx}&=&-sin\;x\\du&=&-sin\;x\;dx \end{align*}

*sehingga :

\begin{align*}\int sin\;x.{\color{Red} cos}^2{\color{Red} x}\;dx&=&\int -{\color{Red} u}^2\;du\\&=&-\frac 13.{\color{Red} u}^3+C\\&=&-\frac 13.{\color{Red} cos}^3{\color{Red} x}+C\end{align*}

5.   \int cos\;5x\;sin^4\;5x\;dx=  …

Jawab :

* kita misalkan u=sin\;5x   maka :

\begin{align*}{\color{Red} u}&=&{\color{Red} sin\;5x}\\\frac{du}{dx}&=&5.cos\;5x\\\frac{du}{5}&=&cos\;5x\;dx\end{align*}

*sehingga :

\begin{align*}\int cos\;5x\;{\color{Red} sin}^4\;{\color{Red} 5x}\;dx&=&\int \frac 15.{\color{Red} u}^4\;du\\&=&\frac 15.\frac 15.{\color{Red} u}^5+C\\&=&\frac {1}{25}{\color{Red} sin}^5\;{\color{Red} 5x}+C\end{align*}

(sumber soal : http://www.meetmath.com/161235-materi-integral-subtitusi.html/comment-page-1#comment-423 )

dari dua soal terakhir di atas ada cara praktisnya :







Contoh soal lain :


 1.





misal :

u = x - 1  maka x = u + 1

du/dx = 7  maka dx = du/7

sehingga :





2.





misal :

u = 4 - x  maka x = 4 - u


du/dx = -1 maka dx = du/(-1) = - du

sehingga











banyak kan... contohnya...

Selamat Belajar

28 komentar:

  1. maaf, sekedar saran dan pendapat
    menurut saya, intergral U pangkat 9 itu hasilnya 1/10 U pangkat 10
    bukan 9U pangkat 8
    kalau 9U pangkat 8 itu turunan

    BalasHapus
  2. Untuk soal lain no 1 . Knpaaa bsaa du/dx = 7. Tlong jelaskan

    BalasHapus
  3. 1.Integral (7-3x)^4 dx metode substitusi.
    2. Integral 9x^2√x^3+5 dx metode substitusi.
    Tolonglah bagaimana caranya??

    BalasHapus
  4. Intergral 3 cos(3- 1 per 2 x) dx tolong caray

    BalasHapus
  5. Kalo soalnya integral (x^2/2+3)^2.x^2 dx
    cara menyelesaikannya bagaimana yah ? Mohon jawabannya.terima kasih

    BalasHapus
  6. Kalo soalnya integral (x^2/2+3)^2.x^2 dx
    cara menyelesaikannya bagaimana yah ? Mohon jawabannya.terima kasih

    BalasHapus
  7. Kansahamnidaaa:) semoga membantu utk UH besik

    BalasHapus
  8. Kalo f'(x) =3x^2+4x-10,jika (-2)=5 maka f(x)? Gimana ya kaaa

    BalasHapus
  9. makasih gan, sangat membantu

    BalasHapus
  10. TRIMAKASIH SGT MEMBANTU....besok lg yaa...

    BalasHapus
  11. Membantu banget kak contoh2 soalnya

    BalasHapus
  12. Terimakasih mudah dipahami Alhamdulillah👍

    BalasHapus
  13. Mohon di bantu, tentukan integral substitusi intergral (cot²xcscx) dx, bagaimana ya ka??

    BalasHapus
  14. Bagus sekali, barangkali ingin membaca pembahasan soal-soal integral lainnya: https://www.belajarmat.com/pembahasan-soal/pembahasan-soal-integral-dan-cara/

    BalasHapus