Integral

Integral merupakan kebalikan dari turunan.

Jika suatu fungsi f (x) mempunyai turunan f ' (x) maka turunan tersebut bila diintegralkan akan diperoleh kembali fungsi f (x). Penulisan lambang integralnya sebagai berikut :


Sebagai contoh :

Suatu fungsi f (x) = 5x3 + 4x2 - 3x + 7 tentukanlah turunan fungsi f (x) tersebut...?

f ' (x) =  15x2 + 8x - 3

Untuk  memperoleh kembali fungsi f (x) dari turunannya yaitu f ' (x) maka kita perlu mengintegralkan turunannya tersebut :

Sebelumnya...
kita perlu mengenal terlebih dahulu rumus dasar integral untuk fungsi f (x)

 f (x) = xn maka integral dari f (x) :








Kembali lagi ke soal sebelumnya....

Jika f ' (x) =  15x2 + 8x - 3 maka f(x) =....?

Jawab :




f (x) = 5x3 + 4x2 - 3x + C

keterangan : Jika diintegralkan pangkat x akan naik satu dan dikalikan seper pangkat barunya. Jika ada angka diintegralkan menjadi ada x nya misal -3 diintegralkan menjadi -3x. Pada akhir pengitegralan selalu ditulis ditambah C. "C" merupakan suatu konstanta/angka yang nilainya tidak dapat ditentukan.

Coba perhatikan.... 

pada awalnya f (x) = 5x3 + 4x2 - 3x + 7 setelah dirurunkan menjadi f ' (x) =  15x2 + 8x - 3.
kemudian f ' (x) diintegralkan menjadi f (x) = 5x3 + 4x2 - 3x + C. Jika diperhatikan angka koefisien f (x) yakni 7 setelah diturunkan dan menjadi nol ( 0 ) saat diintegralkan kembali tidak dapat ditentukan dan ditulis dengan lambang C.

untuk mencari nilai C diperlukan keterangan tambahan.....

misal : f (1) = 13 berarti  5.13 + 4.12 - 3.1+ C = 13 maka C = 13 - 9 =7

fungsi f (x) = 5x3 + 4x2 - 3x + 7

Soal-soal integral sangat berkaitan dengan bentuk2 perpangkatan (materi kelas X bab I). Jadi yang masih bingung bentuk perpangkatan harus dipelajari dulu...

Contoh soal integral  lainnya :

\begin{align*}1.\;\;\int {\color{Blue} 3}x^{\color{Red} 2}dx&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}+1}\;x^{{\color{Red} 2}+1}+C\\&=&x^3\;\;+\;C \end{align*} 

\begin{align*}2.\;\;\int \sqrt{x}\;dx&=&\int x^{\frac 12}\;dx\\&=&\frac{1}{\frac 12+1}\;x^{\frac 12+1}+C\\&=&\frac{\;\;1\;\;}{\frac 32}\;x^{\frac 32}+C\\&=&\frac 23\;x\sqrt{x}+C \end{align*}

\begin{align*}3.\;\;\int \frac{{\color{Blue} 3}}{x^{\color{Red} 2}}\;dx&=& \int {\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} -2}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} -2}+1}x^{-2+1}\;+C\\&=&\frac{3}{-1}\;x^{-1}+C\\&=&-\frac{3}{x}\;+\;C\end{align*}

Perhatikan untuk contoh no.2 dan no.3 fungsi f(x) dinyatakan terlebih dulu sebagai fungsi pangkat,yaa…..jangan sampai terlupa !!!

Lanjut ke soal lainnya....

1.  Tentukan integral dari f(x)=5x^4+\frac{2\pi}{3}  !
Jawab :

\begin{align*} \int f(x)\;dx&=&\int {\color{Red} 5}x^{\color{Red} 4}+{\color{Blue} \frac{2\pi}{3}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 5}}{{\color{Red} 4}+1}\;x^{{\color{Red} 4}+1}+{\color{Blue} \frac{2\pi}{3}}\;x^{{\color{Red} 0}+1}+C\\&=&x^5+\frac{2\pi}{3}\;x+C\end{align*}


2.   Jika f(x)=\int 3x^2-2x+6\;dx   dan f(0)=-6  maka f(x)=....
Jawab :

\begin{align*}f(x)&=&\int {\color{Blue} 3}x^{\color{Red} 2}-{\color{Blue} 2}x+{\color{Blue} 6}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} 2}+1}\;x^{{\color{Red} 2}+1}-\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} 1}+1}\;x^{{\color{Red} 1}+1}+\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} 0}+1}x^{{\color{Red} 0}+1}+C\\f(x)&=&x^3-x^2+6x+C\end{align*}

*   Nah, karena f(0)=-6 maka kita bisa mencari C

\begin{align*}f(x)&=&x^3-x^2+6x+C\\f(0)&=&0^3-0^2+6.0+C\\-6&=&C\end{align*}

*  Sehingga f(x)=x^3-x^2+6x+6

3.   Tentukan integral dari f(x)=\frac{6}{x^3}\;-\;\frac{3}{x^2}   !!!
Jawab :

Ingat …. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!! 
\begin{align*}\int f(x)dx&=&\int \frac{{\color{Blue} 6}}{x^{\color{Red} 3}}\;-\;\frac{{\color{Blue} 3}}{x^{\color{Red} 2}}\;dx\\&=&\int {\color{Blue} 6}.x^{{\color{Red} -3}}-{\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} -2}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 6}}{{\color{Red} -3}+1}\;x^{{\color{Red} -3}+1}-\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} -2}+1}\;x^{{\color{Red} -2}+1}+C\\&=&-3x^{-2}-(-3)x^{-1}+C\\&=&-\frac{3}{x^2}+\frac 3x+C\end{align*}


4.  Tentukan integral dari f(x)=2\sqrt x+3x\sqrt x  !!!!
Jawab:
*  Ingat …. nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!
\begin{align*}\int f(x)dx&=&\int 2\sqrt x+3x\sqrt x\;dx\\&=&\int {\color{Blue} 2}.x^{{\color{Red} \frac 12}}+{\color{Blue} 3}.x^{{\color{Red} \frac 32}}\;dx\\&=&\frac{{\color{Blue} 2}}{{\color{Red} \frac 12}+1}\;x^{{\color{Red} \frac 12}+1}+\frac{{\color{Blue} 3}}{{\color{Red} \frac 32}+1}\;x^{{\color{Red} \frac 32}+1}+C\\&=&\frac{\;2\;}{\frac 32}x^{\frac 32}+\frac{\;3\;}{\frac 52}x^{\frac 52}+C\\&=&2.\frac 23\;x^{\frac 32}+3.\frac 25\;x^{\frac 52}+C\\&=&\frac 43\;x\sqrt x+\frac 65\;x^2\sqrt x+C \end{align*}
ayooo silahkan dicoba dengan soal-soal yang lain ya….


Sifat -sifat :

\int kf(x)\;dx=k\int f(x)\;dx
\int f(x)+g(x)\;dx=\int f(x)\;dx+\int g(x)dx
\int f(x)-g(x)\;dx=\int f(x)\;dx-\int g(x)\;dx

Keterangan di atas arti mudahnya... diartikan jika ada bentuk penjumlahan atau pengurangan dalam soal integral maka dapat diintegralkan sendiri2.....misalnya soal ini :

\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx adalah…


a. \frac 27.\sqrt x(x^3-7) +c
b. \frac 27.\sqrt x(x^3+7) +c
c. \frac 17.\sqrt x(x^3+7) +c
d. \frac 17.\sqrt x(x^3-7) +c
e. \frac 27.\sqrt x(x^3+1) +c

Jawab:

\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx  karena penyebut satu suku,maka pisahkan fungsi pembilangnya :

\dpi{100} \bg_white \begin{align*}\int\frac{x^3-1}{\sqrt x}dx & = &\int(\frac{x^3}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x})dx\\ & = &\int \frac{x^3}{x^{\frac 12}}dx - \int\frac{1}{x^{\frac 12}}dx\\ & = &\int x^{\frac 52}dx - \int x^{-\frac 12}dx\\ & = &\frac{1}{\frac 52+1}.x^{\frac 52+1} - \frac{1}{-\frac 12+1}.x^{-\frac 12+1}+c\\ & = &\frac{1}{\frac 72}.x^{\frac 72} - \frac{1}{\frac 12}.x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^{\frac 72} - 2x^{\frac 12}+c\\ & = &\frac 27.x^3.\sqrt x-2.\sqrt x+c\\ & = &\frac{2}{7}\sqrt x (x^3-7)+c\end{align*}

1 komentar: